高等数学焦点概念

1.若y    =f(x)互为反函数，则f[g(x)]=x

2.若limf(x)存在，则limf(x)表示一个常数
x→x0    x→x0

例：已知limf(x)和limf(x)都存在，且f(x)=x^2+3xlimf(x)+2x^3limf(x)求f(x)
x→1    x→2    x→1    x→2

3.若当x→x0时，或x→∞时，f(x)为无界变量，则当x→x0或x→∞时，f（x）必定为无穷大量（此命题是错误的）
例f(x)=x    x为有理数
f(x)=1/x    x为无理数

4.两个无穷大量和必定为无穷大量（此命题是错误的）
例x→0    (2-1/x)+(3+1/x)=5

-----------------------------------------------------------

1    若x→x0时，f(x)为无穷大量，则当x→x0时ef(x)必定为无穷大量。(此命题是错误的)
当x→1时，1/(x-1)为无穷大量而lim1/(x-!)=∞    lim1/(x-!)=    -∞
x→1+    x→1-   
lim    e^1/(x-!)=+∞    lime^1/(x-1)=0
x→1+    x→1-

2    若lim(un,vn)=0，则必定有lim    un=0或    lim    vn=0
n→∞    n→∞    n→∞
(此命题是错误的)
例    un=1-(-1)^n    vn=1+(-1)^n    n=1,2….
U*v=0
因此    lim(u,v)=0
但是u,v都存在

3    设对任意的x，总有Ф(x)≤f(x)≤g(x)且lim[g(x)-ф(x)]=0，则limf(x)必定
x→∞    x→∞
存在。(此命题是错误的)
例设Φ(x)=(x^4-1)/x^2    f(x)=x^2    g(x)=(x^4+1)/x^2
则lim[g(x)-Φ(x)]=0    但limf(x)    不存在
x→∞    x→∞

-----------------------------------------------------------

1、若y=f(x)在点x0连续，则在点x0必可导。(此命题是错误的)
例：y=∣x∣    点x=0    处连续但不可导

已知f(x)=(x-a)g(x)，其中g(x)在点x=a的某邻域内有定义,则g(x)在x=a处连续，求fˊ(x)

2、初等函数在定义区间内必定可导。（此命题是错误的）
例y=x^2/3在x=0处不可导

3    、若f(x)在点x0可导，则|f(x)|在点x0必定可导。(此命题是错误的)
例：函数f(x)=(x^2-x-2)|x^3-x|不可导的点的个数为多少？

-----------------------------------------------------------

1、设f(x)在点x=a处可导，则∣f(x)∣在点x=a不可导的充分条件是f(a)=0且f’(x)≠0

2、若limf’(x)=limf’(x)，则必有f’(x)=A(此命题是错误的)
x→x0_    x→x0+   
3、若f(x)为(a,b)内的单调函数且可导，则f’(x)在(a,b)内可导。（此命题是错误的）
例：y=x^3

4、若f’(x)在(a,b)内为单调函数，则f(x)在(a,b)内也为单调函数。（此命题是错误的）
y=x^2    y’=2x

-----------------------------------------------------------

1若f(x)在点x0有直至n阶导数，且f’(x0)=f’’(x0)=…f^(n-1)(x0)=0而f^(n-1)≠0(n>2)
则当n为偶数时，x0必为f(x)的极值点；当n为奇数时，x0不为f(x)的极值点。
当n为奇数时，点(x0,f(x0))为曲线的拐点。

2、若x0为函数y=f(x)的极值点，则点(x0,f(x0))必定不为曲线y=f(x)的拐点(错误）
例：y=∣xe^(-x)∣